Solução de uma EDO

Vamos pensar em uma EDO como uma receita para um bolo. A equação te dá os ingredientes (a função e suas derivadas) e como esses ingredientes devem se combinar. Mas o que você realmente quer é o bolo pronto, certo? No mundo das EDOs, esse "bolo pronto" é o que chamamos de solução.

O que é a solução de uma EDO?

Já vimos na introdução que uma EDO é uma regra que descreve como algo muda ao longo do tempo, como a posição de um objeto, o aumento de bactérias ou a temperatura de um corpo. A solução é a função específica que, quando substituída na equação, faz com que tudo "se encaixe" perfeitamente. Em outras palavras, é a função que obedece exatamente àquela regra dada pela EDO. Essa função solução será a equação da posição do objeto, a função que determina quantas bactérias há em um dado instante ou a temperatura de um corpo após um tempo.

Como funciona na prática?

Vamos usar um exemplo simples. Digamos que a EDO seja \(y'=2x\).

Aqui, \(y'\) é a derivada de \(y\) em relação a \(x\). A solução dessa EDO seria uma função \(y(x)\) que, quando derivada, dá exatamente \(2x.\)

Se tentarmos \(y(x) = x^2\), vemos que:

\[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx}(x^2) = 2x\] Então, \(y(x)=x^2\) é uma solução para essa equação. A solução é a função que "satisfaz" a equação, ou seja, faz com que a equação seja verdadeira.

Os gráficos das soluções de uma EDO são chamadas de curvas integrais.

SOLUÇÕES GERAIS E PARTICULARES

E se eu te disser que \(y(x) = x^2 + 3\) também é uma solução da EDO? E também \(y(x) = x^2 - 5\)? Isso mostra que existem várias funções que podem resolver a mesma EDO, mas diferem por uma constante. A solução geral de uma EDO inclui todas essas possibilidades. No nosso exemplo, a solução geral é geralmente escrita como \(y(x) = x^2 + C\), onde \(C\) é uma constante arbitrária.

Quando você tem informações adicionais, como o valor de \(y\) em um ponto específico (condição inicial), você pode determinar um valor específico para \(C\), resultando em uma solução particular válida em um determinado intervalo. No nosso exemplo, a solução da EDO que passa pelo ponto \(\left(0,\pi \right)\) seria a solução \(y(x) = x^2 + C\) tal que \(y(0) = \pi\). Isto é, \(y(x) = x^2 + \pi.\)

Portanto, para a EDO \(\dfrac{dy}{dx}=2x,\)

\(y(x) = x^2 + C\) é a solução geral

\(y(x) = x^2 + \pi\) é uma solução particular

Esse é o gráfico das curvas integrais da EDO. Observe como variam as curvas segundo os valores da constante \(C.\)

curvas integrais edo y'=2x

Exemplo: Qual seria a solução geral da EDO \(\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{x}\)? E a solução particular que satisfaz \(y(1)=0\)?

Vamos resolver a EDO para encontrar a solução geral. Relaxe... essa aqui você consegue...

Lembrando que aqui a incógnita é a função \(y(x)\) cuja derivada é \(\sqrt{x}\). É familiar? Siiim, o que vamos procurar é uma primitiva!

Assim, \[y(x)= \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C,\]

onde \(C\) é a constante de integração.

A solução geral da EDO \(y'=\sqrt{x}\) é \(y(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C.\)

Vamos encontrar agora a solução particular tal que \(y(1)=0\). Substituindo na solução geral, \(0=\dfrac{2}{3}+C\), donde \(C=-\dfrac{2}{3}.\)

A solução particular que passa pelo ponto \(\left(1,0 \right)\) é \(y(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2} -\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}(\sqrt{x^3}-1)\)

Veja como é o gráfico das curvas integrais para esta EDO. Onde estaria a curva integral de nossa solução particular?

curvas integrais edo y'=raiz(x)

Atenção! A solução geral de uma EDO de primeira ordem é sempre uma família a um parâmetro. Isto é, sempre depende de uma constante \(C\), e somente uma. Veremos mais para a frente que será diferente nas EDO de ordem superior.

Para nossa solução particular, C=-2/3=-0.67, portanto estará entre a curva correspondente a C=0 e a curva correspondente a C=-1.

O INTERVALO DE DEFINIÇÃO

Voltemos a EDO \(y'=2x\). Perceba que há uma questão bem importante: para quais valores de \(x\) essa solução é válida? Isso é o intervalo de definição da solução. É o conjunto de valores da variável independente \(x\) onde a solução faz sentido e a equação é satisfeita. No nosso exemplo inicial, como não há nenhuma restrição evidente, podemos dizer que a solução geral \(y(x)=x^2\) é válida para todos os \(x\), ou seja, que o intervalo de definição da solução é todo o intervalo \(\left(-\infty, +\infty\right)\).

Exemplo: Qual seria o intervalo de definição da solução particular da EDO \(\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{x}\) que satisfaz \(y(1)=0\)?

Vimos anteriormente que a solução particular pedida é \(y(x)=\dfrac{2}{3}(\sqrt{x^3}-1)\). Então, o intervalo de definição da solução particular vem dado pela equação \(x^{3}\geq 0\), isto é, \(x\geq 0\).

Portanto, o intervalo de definição da solução particular \(y(x)=\dfrac{2}{3}(\sqrt{x^3}-1)\) é \(\left[0, +\infty\right)\). Ou seja, a solução é definida para todos os valores de \(x\) positivos.

Gráfico de função vs curva integral

O intervalo de definição é um único intervalo aberto. Não pode ser união de intervalos. Por exemplo, a solução geral da EDO \(y'+2xy^2=0\) é \(y=\dfrac{1}{x^2-C}.\) E a solução particular que passa pelo ponto \(\left(0,-1\right)\) é \(y=\dfrac{1}{x^2-1}.\)

Observemos o seguinte:

O domínio da função \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}\) é \(D=\left(-\infty,-1\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(1,+\infty\right)\)
A solução da EDO de primeira ordem deve estar definida em um intervalo \(I\) onde ela é, no mínimo, uma vez derivável.

Um erro comum seria dizer que o intervalo de definição da solução da EDO seria o mesmo que da função, isto é, \(\left(-\infty,-1\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(1,+\infty\right).\) Mas... lembramos que as EDO descrevem fenômenos reais. Imagine que a EDO descreve a temperatura de um bolo depois de ser retirado do forno... O que aconteceria com o bolo uma hora depois de ser tirado do forno? Isto é, no instante \(x=1.\) Explode? Melhor ter controle da temperatura a todo momento, né?

Então combinamos que melhor ter definida a solução em um único intervalo. Qual dos ramos escolho? Isso vai depender da condição inicial, isto é, do ponto por onde passa a curva integral.

No nosso caso, observe que a solução particular deve verificar que \(y(0)=-1\). Portanto \(0\) deve pertencer ao intervalo \(I\), e escolheremos o ramo \(\left(-1,1\right)\) já que \(0\in \left(-1,1\right)\). Isto é, o ponto \(\left(0,1\right)\) deve estar na curva integral de nossa solução. Os outros ramos da função correspondem a outras soluções particulares. Veja a figura abaixo, a nossa curva integral é só a laranja:

curvas integrais de soluçoes particulares

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curvas integrais erradas — *Curvas integrais geradas por IA (confunde gráfico com curva integral)*

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