Uma equação diferencial é uma equação matemática que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Em outras palavras, é uma equação que envolve uma função, suas taxas de variação, e possivelmente a variável independente em relação à qual as derivadas são tomadas.

Componentes Básicos:

• Função Desconhecida: Representa a grandeza que queremos determinar. Por exemplo, \(y(x)\) pode representar a posição de um objeto ao longo do tempo \(x.\)
• Derivadas: Indicam como a função está mudando. Por exemplo, a derivada \(y'(x)\) representa a taxa de variação da função \(y(x)\) em relação a \(x\), que poderia ser a velocidade no caso de uma posição ao longo do tempo. Também podemos estudar como varia a taxa de variação ao longo do tempo, isso seria a segunda derivada \(y''(x).\)
• Variável Independente: A variável em relação à qual as derivadas são tomadas. No exemplo \(y(x)\), \(x\) é a variável independente.

Exemplo Simples:

Uma das equações diferenciais mais simples é a equação que descreve o crescimento exponencial de uma bactéria:

\[\frac{dy}{dt}=ky \]

Aqui:

\(y(t)\) é a função desconhecida que descreve a quantidade de bactérias ao longo do tempo \(t.\)

\(\dfrac{dy}{dt}\)​ é a derivada de \(y\) em relação a \(t,\) ou seja, a taxa de variação do número de bactérias ao longo do tempo.

\(t\) é a variável independente, pois a função e suas derivadas dependem do tempo.

\(k\) é uma constante positiva que determina a taxa de crescimento.