Uma solução de uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma função \(y = \phi(x)\) que satisfaz a equação diferencial em um intervalo \(I\) da variável independente \(x\). Formalmente, se uma EDO é dada por

\[F\left(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}\right) = 0,\] onde \(y^{(k)}\) denota a \(k\)-ésima derivada de \(y\) em relação a \(x,\) então uma função \(\phi(x)\) é chamada de solução da EDO no intervalo \(I \subseteq \mathbb{R}\) se:

1. \(\phi(x)\) é bem definida no intervalo \(I.\)
2. \(\phi(x)\) é uma função \(n\)-vezes diferenciável no intervalo \(I.\)
3. Quando \(\phi(x)\) e suas derivadas são substituídas na equação diferencial, a equação se torna uma identidade verdadeira para todo \(x\) em \(I\)

Como já comentamos anteriormente, a solução de uma EDO é a função que você obtém ao "resolver" a equação, ou seja, ao encontrar a função que faz com que a equação seja verdadeira dentro de um intervalo específico da variável independente. Pode ser uma função específica (solução particular) ou uma família de funções que incluem, quase sempre, todas as possibilidades (solução geral). E o intervalo de definição \(I\) é o conjunto de valores da variável onde a solução é válida e a equação faz sentido, garantindo que tudo se encaixe perfeitamente no quebra-cabeça que é a EDO!

Neste ebook trabalharemos com equações diferenciais que admitem solução. Isso não acontece sempre. O aluno curioso pode procurar por Teorema de Existência e Unicidade das EDOs em textos didaticos.

Ao longo deste ebook aprenderemos como resolver alguns tipos de EDO, passo a passo, não se preocupe. Para já somente pediremos que você saiba dizer se uma função dada é solução ou não de uma EDO dada.

Exemplo: Verifique que \(y(x)=7e^{2x}\) é solução da EDO \(y'=2y\) no intervalo \(\left(-\infty,+\infty\right).\)