Geogebra/Python

Com Geogebra

Esboçar curvas integrais no Geogebra é bem simples!!

Abra o Geogebra Classic no navegador de seu desktop ou instale o aplicativo no seu celular ou tablet. Acesse aqui o site oficial para download.

Também pode instalar no seu desktop o Geogebra Classic, pode escolher o 5 ou o 6. O Geogebra 5 é bem mais completo, mas para esboçar curvas é suficiente o Geogebra 6 que possui uma interface mais parecida ao Geogebra Classic do navegador web.

Para esboçar a solução geral da EDO $\; y'=f(x,y)\; $ (vai depender do parâmetro $C$) usamos o comando:

ResolverEDO(f(x,y))

Observe que o Geogebra criará um botão deslizante $C.$ Pode mexer no botão para ver diferentes soluções particulares, todas elas dependendo do valor do parâmetro $C.$

Para ver todas as soluções juntas, clique nos três pontinhos à direita do comando ResolverEDO, depois em configurações e, finalmente, selecione a opção "Exibir Rastro". Pode "separar" as soluciones configurando a opção Incremento do botão deslizante.

Para esboçar a solução do PVI $\begin{cases}y'=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0\end{cases}$ usamos o comando:

ResolverEDO(f(x,y),(x_0,y_0))

Exemplo:

Esboçar as curvas integrais da EDO $\; y'=xy \; $

Esboçar a curva integral da EDO $y'=xy$ que passa pelo ponto $(0,2)$

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Código Python

Esboçar curvas integrais com Python é bem simples!

Esse é o código da imagem das curvas integrais do exemplo $\dfrac{dy}{dx}=xy$ do capítulo Solução de uma EDO.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Valores de x
x = np.linspace(-3, 3, 400)

# Lista de constantes C
C_values = [-2, -1, 0, 1, 2]

# Criar figura
plt.figure(figsize=(10, 6))

# Plotar as curvas integrais para cada valor de C
for C in C_values:
y = C * np.exp(x**2 / 2)
plt.plot(x, y, label=f'C = {C}')

# Personalização do gráfico
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.title("Curvas integrais da EDO: y' = x * y")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()

# Mostrar gráfico
plt.show()

Exercício

Esboce com o Geogebra as curvas integrais da EDO. Tente adicionar também as legendas!

Esboce com o Python o diagrama de curvas integrais da EDO $y'+2xy^2=0$. Tente adicionar também as legendas!

Temos que a solução geral da nossa EDO $\;y’+2xy^2 \,$ é $\, y=\dfrac{1}{x^2+C}.$

Utilizando o comando ResolverEDO(f’(x,y),(x_0,y_0) no Geogebra, encontramos gráficos para alguns valores do parâmetro $C$ de nossa solução geral. Será que todos representam curvas integrais, isto é, soluções de nossa EDO??

Gráficos dependentes do valor de C

Vimos na seção Solução de uma EDO que a nossa solução só faz sentido se for coerente com o fenômeno que a mesma se propõe a descrever (por exemplo, um carro não pode sumir no meio do caminho, certo? As soluções devem ser contínuas e diferenciáveis). Podemos então dizer que o gráfico com parâmetro $C=1$ é o único que representa uma curva integral, isto é, uma solução de nossa EDO. Isso se torna mais claro se percebermos que a função $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ está definida em um único intervalo $ (-\infty,\infty) $ e atende a condição inicial $y(0)=1.$

Mas não desanime, podemos limitar o intervalo dos gráficos correspondentes a outros valores do parâmetro $C$ para que de fato representem uma solução de nossa EDO. Utilizando o comando Se(Condição, Então) do Geogebra, limitamos o intervalo da solução particular $y=\dfrac{1}{x^2-1}, C=1.$ Repare que cada uma das curvas integrais representam uma solução que atende a uma condição inicial $y(x_0)=y_0.$

$Curvas Integrais do gráfico $y=1/x^2+1$$

Você pode fazer o mesmo para os gráficos $y=\dfrac{1}{x^2-5}$ e $y=\dfrac{1}{x^2-3}$ para praticar. Lembre-se de que sua condição inicial deve ser satisfeita dentro do intervalo de definição.

$ \ $

Esse é o código da imagem das curvas integrais da EDO $\dfrac{dy}{dx}=-2xy^2.$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Solução da EDO: y(x) = 1 / (x^2 - C)
def y_sol(x, C):
return 1 / (x**2 - C)

# Todas as curvas usam C = 1 agora
C = 1

# Domínios ajustados para evitar assíntota em x = ±1
x1 = np.linspace(-2, -1.001, 400)
x2 = np.linspace(-0.999, 0.999, 400)
x3 = np.linspace(1.001, 2, 400)

# Plot
plt.figure(figsize=(7, 5))

plt.plot(x1, y_sol(x1, C), label=r"$y(x) = \frac{1}{x^2 - 1},\ y(-1.5)=0.8$", color='tab:blue')
plt.plot(x2, y_sol(x2, C), label=r"$y(x) = \frac{1}{x^2 - 1},\ y(0) = -1$", color='tab:orange')
plt.plot(x3, y_sol(x3, C), label=r"$y(x) = \frac{1}{x^2 - 1},\ y(1.5)=0.8$", color='tab:green')

plt.ylim(-10, 10)
plt.xlim(-2, 2)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title(r"Curva Integral para a EDO $y' + 2xy^2 = 0$ com $y(0) = -1$")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

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