Problema de Valor inicial

PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

Voltemos para a EDO \(\dfrac{dy}{dx}=2x.\)

Vimos anteriormente que \(y(x) = x^2 + C\) é a solução geral. Isto é, todas as funções dessa família a um parâmetro verificam a equação diferencial, para qualquer valor da constante \(C.\)

Agora, também vimos que somente há uma que passa pelo ponto especifico \(\left(0,\pi \right)\), isto é, que verifique que \(y(0) = \pi.\) Ela é \(y(x) = x^2 + \pi\) e é uma solução particular.

Pronto! Sem saber você já tinha resolvido um Problema de Valor Inicial ou PVI. Este problema consiste em resolver uma EDO sujeita a alguns dados iniciais.

No nosso exemplo, o PVI seria

\[\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=2x \\ y(0) = \pi \end{cases}\]

Exemplo: Resolva o PVI \(y'=7x^2+2, y(1)=0\)

O PVI seria \(\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=7x^2+2 \\ y(1) = 0 \end{cases}\)

Resolvamos a EDO primeiro:

Como \(\dfrac{dy}{dx}=7x^2+2\), podemos integrar em relação a \(x\) e encontrar uma primitiva.

\(y=\int (7x^2+2) dx=7\dfrac{x^3}{3}+2x+C.\)

Logo, \(y=\dfrac{7x^3}{3}+2x+C\) é a solução geral da EDO.

Para resolver o PVI precisamos de encontrar uma solução particular que verifique a condição inicial, isto é, \(y(1)=0.\) Substituiremos, então, \(x\) por \(1\) e \(y\) por \(0\) na solução geral. Assim:

\(0=\dfrac{7\cdot 1}{3}+2\cdot 1 + C\), donde \(C=-\dfrac{7}{3}-2=-\dfrac{13}{3}\)

Logo, a solução do PVI será \(y=\dfrac{7x^3}{3}+2x-\dfrac{13}{3},\) para todo \(x \in \left(-\infty,+\infty\right).\)

Definição formal

Com base na definição formal de uma equação diferencial ordinária (EDO), podemos dizer que um problema de valor inicial (PVI) combina duas partes principais:

Uma equação diferencial ordinária (EDO), que é da forma:
\[F\left(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}\right) = 0,\]
onde \(y^{(k)}\) representa a \(k\)-ésima derivada de \(y\) em relação a \(x.\)
Um conjunto de condições iniciais, que especificam valores para a função \(y\) e algumas de suas derivadas em um ponto \(x_0\) do intervalo \(I.\) Essas condições têm a forma:
\[y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1, \quad y''(x_0) = y_2, \dots, \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}. \]

Assim, uma função \(y = \phi(x)\) é solução do PVI se:

\(\phi(x)\) satisfaz a EDO em todo o intervalo \(I\),
\(\phi(x)\) atende às condições iniciais, ou seja:
\[
\phi(x_0) = y_0, \quad \phi'(x_0) = y_1, \quad \dots, \quad \phi^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}.
\]

Um PVI resolve o problema de encontrar uma única solução para uma EDO, restringindo a solução com condições iniciais específicas. É como dizer: “Entre todas as funções que podem satisfazer essa EDO, queremos aquela que também passa por um ponto específico e segue um comportamento inicial definido.”

Neste ebook trabalharemos com PVI que admitem solução única. Isso não acontece sempre. O aluno curioso pode procurar por Teorema de Existência e Unicidade das EDOs em textos didaticos.

Ao longo deste ebook aprenderemos como resolver vários tipos de PVI, passo a passo, não se preocupe. Para já somente pediremos que você saiba dizer se uma função dada é solução ou não de um PVI dado.

Exemplo Verifique que \(y(x)=8e^{4x}\) é solução do PVI \(\begin{cases}y'=4y \\ y(0)=8\end{cases}\) no intervalo \(\left(-\infty,+\infty\right).\)

Uma referência recomendada seria o livro: Dennis G Zill. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. Ceneage Learning, 2016. 10a edição

Derivando a função \(y(x)=8e^{4x}\) obtemos que \[y'(x)=8\cdot 4 e^{4x}=4 \cdot 8e^{4x} = 4y\] Portanto \(y(x)=8e^{4x}\) é solução da EDO \(y'=4y\) no intervalo \(\left(-\infty,+\infty\right)\).

Verifiquemos agora que é solução do PVI. Para isso, a função \(y(x)=8e^{4x}\) deve verificar que \(y(0)=8\).

Agora, substituindo em \(y(0)=8e^{4\cdot 0}=8e^{0}=8\cdot 1=8\). O que comprova que \(y(x)=8e^{4x}\) é solução do PVI \(\begin{cases}y'=4y \\ y(0)=8\end{cases}\) no intervalo \(\left(-\infty,+\infty\right).\)

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Verdadeiro

Solução: Verifiquemos primeiro se a função \(y = 3e^x + e^{-2x}\) é solução da EDO \(y' + 2y = 9e^x.\)

Derivamos \(y\) em relação a \(x\) obtemos que
\[
y' = \frac{d}{dx}(3e^x + e^{-2x}) = 3e^x - 2e^{-2x}.
\]

Substituímos \(y = 3e^x + e^{-2x}\) e \(y' = 3e^x - 2e^{-2x}\) na equação \(y' + 2y = 9e^x\) e obtemos:
\[
(3e^x - 2e^{-2x}) + 2(3e^x + e^{-2x}) = 9e^x.
\]

Expandindo os termos:
\[
3e^x - 2e^{-2x} + 6e^x + 2e^{-2x} = 9e^x.
\]

Simplificando:
\[
(3e^x + 6e^x) + (-2e^{-2x} + 2e^{-2x}) = 9e^x.
\]

Logo:

\[
9e^x = 9e^x.
\]

A igualdade é verdadeira para todo \(x\). Portanto, a função \(y = 3e^x + e^{-2x}\) é solução da EDO no intervalo \(\left(-\infty, + \infty\right).\)

Comprovemos agora que a função verifica a condição inicial dada \(y(0) = 4\).

Substituímos \(x = 0\) na função \(y = 3e^x + e^{-2x}\):
\[
y(0) = 3e^0 + e^{0} = 3 + 1 = 4.
\]

Donde a condição inicial é satisfeita.

Portanto, a função \(y = 3e^x + e^{-2x}\) é solução do PVI no intervalo \(\left(-\infty, + \infty\right).\), pois satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.

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Verdadeiro

Solução: Verifiquemos primeiro que a função \(y = 2e^x + 3e^{2x}\) é solução da EDO \(
y'' - 3y' + 2y = 0.\)

Derivamos \(y = 2e^x + 3e^{2x}\) para calcular \(y'\) e \(y''\):
\[
y' = \frac{d}{dx}(2e^x + 3e^{2x}) = 2e^x + 6e^{2x},
\]
\[
y'' = \frac{d}{dx}(2e^x + 6e^{2x}) = 2e^x + 12e^{2x}.
\]

Substituiremos \(y\), \(y'\), e \(y''\) na EDO:

\[
y'' - 3y' + 2y = (2e^x + 12e^{2x}) - 3(2e^x + 6e^{2x}) + 2(2e^x + 3e^{2x})=
\]

(expandimos os termos:)
\[
=2e^x + 12e^{2x} - 6e^x - 18e^{2x} + 4e^x + 6e^{2x}=
\]

(agrupamos os coeficientes de \(e^x\) e \(e^{2x}\):)
\[
=(2e^x - 6e^x + 4e^x) + (12e^{2x} - 18e^{2x} + 6e^{2x}) =
\]

(simplificamos:)
\[
=0e^x + 0e^{2x} = 0.
\]

Logo, \(y'' - 3y' + 2y = 0\) e a igualdade é verdadeira para todo \(x\). Portanto, a função é solução da EDO no intervalo \(\left(-\infty, + \infty\right).\)

Comprovemos agora que a função \(y = 2e^x + 3e^{2x}\) verifica as condições iniciais:

Condição 1: \(y(0) = 5\)

Substituímos \(x = 0\) em \(y = 2e^x + 3e^{2x}\):
\[
y(0) = 2e^0 + 3e^0 = 2 + 3 = 5.
\]
Logo, a condição \(y(0) = 5\) é satisfeita.

Condição 2: \(y'(0) = 8\)

Substituímos \(x = 0\) em \(y' = 2e^x + 6e^{2x}\):
\[
y'(0) = 2e^0 + 6e^0 = 2 + 6 = 8.
\]
A condição \(y'(0) = 8\) é satisfeita.

Portanto, a função \(y = 2e^x + 3e^{2x}\) satisfaz a equação diferencial \(y'' - 3y' + 2y = 0\) e também as condições iniciais \(y(0) = 5\) e \(y'(0) = 8\). Logo, ela é solução do PVI.

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Falso

\subsection*{Passo 1: Derivar \(y = -2e^{\frac{x^2}{2}}\)}
Solução: Calculamos a derivada de \(y = -2e^{\frac{x^2}{2}}\) em relação a \(x\) usado a regra da cadeia:
\[
y' = -2 \cdot \frac{d}{dx}\left(e^{\frac{x^2}{2}}\right) = -2 \cdot e^{\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right).
\]

Como \(\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right) = x\), temos:
\[
y' = -2e^{\frac{x^2}{2}} \cdot x.
\]

Portanto:
\[
y' = xy.
\]

A função satisfaz a equação diferencial \(y' = xy\) no intervalo \(\left(-\infty, + \infty\right).\)

Comprovemos se verifica a condição inicial \(y(0) = 4,\) substituindo \(x = 0\) na função \(y = -2e^{\frac{x^2}{2}}\):
\[
y(0) = -2e^{\frac{0^2}{2}} = -2e^0 = -2 \cdot 1 = -2.
\]

No entanto, a condição inicial exige que \(y(0) = 4\), e aqui temos \(y(0) = -2\).

Portanto, a função \(y = -2e^{\frac{x^2}{2}}\) satisfaz a equação diferencial \(y' = xy\) no intervalo \((-\infty, +\infty)\), mas \textbf{não satisfaz a condição inicial \(y(0) = 4\)}. Logo, ela \textbf{não é solução do PVI} no intervalo \((-\infty, +\infty)\).

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