Pronto! Já estamos preparados para resolver uma EDO que não é exata, mas que ainda dá um jeito de resolver.
Consideremos a EDO \(M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy=0\) não sendo exata, isto é, quando \(\dfrac{dM}{dy}\neq \dfrac{dN}{dx}\).
Resumindo: O método para resolver EDO redutíveis a exatas é uma técnica para resolver EDOs de primeira ordem quando a EDO não exata admite um fator integrante. Os passos são:
1. Reorganizar a equação para colocar ela na forma padrão para dentificar \(M(x,y)\) e \(N(x,y).\)
2. Verificar se a EDO é exata: \(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.\) Se for exata resolva segundo o método das EDO exatas.
3. Se \(\frac{\partial M}{\partial y}\neq \frac{\partial N}{\partial x},\) calcule o fator integrante \(\mu(x,y)\) integrando \(\dfrac{M_y-N_x}{N}\) em relação a \(x\) ou \(\dfrac{N_x-M_y}{M}\) em relação a \(y\)), segundo o caso.
4. Multiplicar a EDO toda (à esquerda e à direita da igualdade) pelo fator integrante e conferir que agora é uma EDO exata.
5. Resolver a nova EDO exata.
6. Escrever a solução geral \(f(x,y)=C\), onde \(C\) é uma constante arbitrária.
7. Usar a condição inicial, se disponível, para encontrar a solução particular (substituindo a condição inicial e calculando o valor de \(C\)).
A continuação propomos alguns exercícios para você treinar. Força!!
Verifique que a seguinte equação diferencial não é exata e determine sua solução geral.
\[\left(y^2x+x\right)dx-\left(yx^2\right)dy=0\]
Se você resolveu a questão anterior utilizando um fator integrante \(\mu(x)\), resolva utilizando um fator integrante \(\mu(y),\) ou vise-versa. O que você conclui a partir disso?
Isso é possível porque \(\dfrac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)\) já que a EDO é exata.
\(g(y)\) somente depende de \(y\), portanto você deve poder cortar todo o que tiver \(x\) da equação. Se não conseguir, alguma coisa estará errada!
As primitivas de uma função de uma variável diferem em uma constante. Isto é, todas são da forma \(F(x)=\int f(x) dx + K\). Isso porque, ao derivar \(F(x)\) em relação a \(x\), fica somente \(f(x)\), pois a derivada de uma constante é zero.
Já quando você integra uma função de duas variáveis \(f(x,y)\) em relação \(x\), essa constante \(K\) agora vira uma função da outra variável \(y\). Isto é, \(F(x,y)=\int f(x,y)\,dx + g(y)\). Isso porque, ao derivar \(F(x,y)\) em relação a \(x\), fica somente \(f(x,y)\), pois a derivada de \(g(y)\) em relação a \(x\) é zero.
Analogamente, se integramos \(f(x,y)\) em relação \(y\), essa constante \(K\) agora vira uma função da outra variável \(x\). Isto é, \(F(x,y)=\int f(x,y)\,dy + h(x)\). Isso porque, ao derivar \(F(x,y)\) em relação a \(y\), fica somente \(f(x,y)\), pois a derivada de \(h(x)\) em relação a \(y\) é zero.
\[\left(y^2x+x\right)dx-\left(yx^2\right)dy=0\]
Começamos por verificar: \( \dfrac{\partial{M}}{\partial{y}}=\dfrac{\partial{N}}{\partial{x}} \) ?
Temos \(M(x,y)= y^2x+x \;\) e \(\;N(x,y)=yx^2. \)
Calculando as parciais obtemos:
\(\dfrac{\partial{M}}{\partial{y}}=2xy\)
\(\dfrac{\partial{N}}{\partial{x}}=-2xy\)
\( \dfrac{\partial{M}}{\partial{y}} \ne \dfrac{\partial{N}}{\partial{x}} \). Então precisamos analisar se existe ou não um fator integrante \(\mu(x)\) ou \(\mu\left(y\right)\) que torne a nossa EDO exata.
\( \dfrac{M_{y}-N_{x}}{N}=\dfrac{2xy-\left(-2xy\right)}{-yx^2}=\dfrac{-4}{x} .\) Depende somente de \(x\), podemos encontrar nosso fator integrante:
\(\mu(x)=e^{\int{\frac{-4}{x}dx}}=e^{\int{\frac{-4}{x}dx}}=e^{-4\int{\frac{1}{x}dx}}=e^{-4\ln{x}}=e^{\ln{\frac{1}{x^4}}}=\dfrac{1}{x^4}.\)
Multiplicando a EDO pelo fator encontrado obtemos uma EDO novinha em folha, e também EXATA! Vamos conferir:
\(\dfrac{1}{x^4}\left(y^2x+x\right)dx-\dfrac{1}{x^4}\left(yx^2\right)dy=0 \Longrightarrow \left(\dfrac{y^2}{x^3}+\frac{1}{x^3}\right)dx-\left(\frac{y}{x^2}\right)dy=0\)
Agora ficamos com:
\(M(x,y)=\dfrac{y^2}{x^3}+\frac{1}{x^3}\Longrightarrow \dfrac{\partial{M'}}{\partial{y}}=\dfrac{2y}{x^3}\)
\(N(x,y)=-\dfrac{y}{x^2}\Longrightarrow \dfrac{\partial{N'}}{\partial{x}}=\dfrac{2y}{x^3}\)
\( \dfrac{\partial{M}}{\partial{y}} = \dfrac{\partial{N}}{\partial{x}} =\dfrac{2y}{x^3}.\) Viu? E-x-a-t-a :-D.
Atenção! Não confunda os novos \(M(x,y)\) e \(N(x,y)\) da EDO multiplicada pelo fator integrante com os antigos da EDO original!
Caso prefira você pode usar \(M_{novo}(x,y)\) e \(N_{novo}(x,y)\) para não se confundir. Manteremos a mesma nomenclatura para evitar poluir demais.
Agora respiramos fundo e começamos a integrar.
Aqui decidimos se vamos integrar \(M(x,y)\) em relação a \(x\) ou \(N(x,y)\) em relação a \(y\). Aconselhamos sempre a escolher a integral mais simples ou a menos complicada. Independente da integral escolhida devemos chegar a mesma solução, caso não erremos nenhuma conta pelo caminho...
Vamos integrar \(N(x,y)\) em relação a \(y\) e encontrar parte da nossa solução:
\( f(x,y)=\displaystyle\int{N(x,y)\,dy}=\displaystyle\int{-\dfrac{y}{x^2}dy}=\dfrac{-y^2}{2x^2}+h(x)\)
Agora derivamos parcialmente em relação a \(x\) e igualamos a \(M(x,y)\):
\(\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial}{\partial{x}}\left(\dfrac{-y^2}{2x^2}+h(x)\right)=\dfrac{y^2}{x^3}+h'(x)=\dfrac{y^2}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}\Longrightarrow h'(x)=\dfrac{1}{x^3}\Longrightarrow h(x)=\displaystyle\int{\dfrac{1}{x^3}\,dx}=-\dfrac{1}{2x^2}\)
Finalmente subistituimos \(h(x)\) para encontrarmos nossa solução:
\(f(x,y)=-\dfrac{y^2}{2x^2}-\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{-y^2-1}{2x^2}=C\) ou \(f(x,y)=\dfrac{y^2+1}{x^2}=C,\) multiplicando em ambos os lados por \(-2\).
Fica como dever de casa integrar \(M(x,y)\) em relação a \(x\), derivar a \(f(x,y)\) parcialmente em relação a \(y\), encontrar \(h(y)\) e substituir na \(f(x,y)\) para encontrar a mesma solução. Caso tenha alguma dificuldade peça ajuda a seu(ua) professor(a) ou a seus monitores.
Se você tentou resolver e encontrou um fator integrante que dependa somente de \(y\), você está redondamente certo! Essa EDO admite dois fatores integrantes! Um caso interessante e um tanto incomum!
Vamos resolver utilizando \(\mu\left(y\right)\):
\(\dfrac{N_{x}-M_{y}}{M}=\dfrac{-2xy-2xy}{y^2x+x}=\dfrac{-4xy}{x(y^2+1)}=\dfrac{-4y}{y^2+1}\)
\(\mu(y)=e^{\int{\frac{-4y}{y^2+1}}dy}=e^{-4\int{\frac{y}{y^2+1}}dy}=e^{-2\ln{\left(y^2+1\right)}}=e^{\ln{\frac{1}{\left(y^2+1\right)^2}}}=\dfrac{1}{\left(y^2+1\right)^2}\)
Como resolver a integral?
Multiplicando nossa EDO pelo fator encontrado:
\(\dfrac{1}{\left(y^2+1\right)^2}\left(y^2x+x\right)dx-\dfrac{1}{\left(y^2+1\right)^2}\left(yx^2\right)dy=0 \)
Não parece estar muito bonito... vamos ajeitar!
\( \dfrac{x\left(y^2+1\right)}{\left(y^2+1\right)^2}dx-\dfrac{yx^2}{\left(y^2+1\right)^2}dy=0 \Longrightarrow \dfrac{x}{\left(y^2+1\right)^2}dx-\dfrac{yx^2}{\left(y^2+1\right)^2}dy =0\)
Bem melhor! Continuando:
\(M(x,y)=\dfrac{x}{\left(y^2+1\right)^2}\Longrightarrow \dfrac{\partial{M}}{\partial{y}}=-\dfrac{2xy}{\left(y^2+1\right)^2}\)
\(N(x,y)=-\dfrac{yx^2}{\left(y^2+1\right)^2}\Longrightarrow \dfrac{\partial{N}}{\partial{x}}=-\dfrac{2xy}{\left(y^2+1\right)^2}\)
\( \dfrac{\partial{M}}{\partial{y}}=\dfrac{\partial{N}}{\partial{x}}=-\dfrac{2xy}{\left(y^2+1\right)^2}\). Exata!
Integrando \(M(x,y)\) em relação a \(x\):
\( f(x,y)=\displaystyle\int{M(x,y)\,dx}=\displaystyle\int{\dfrac{x}{\left(y^2+1\right)}\,dx}=\dfrac{x^2}{2\left(y^2+1\right)}+h(y) \)
Agora derivamos parcialmente em relação a \(y\) e igualamos a \(N(x,y)\):
\(\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}=\dfrac{\partial{}}{\partial{y}}\left(\dfrac{x^2}{2\left(y^2+1\right)}+h(y)\right)=-\dfrac{yx^2}{\left(y^2+1\right)^2}+h'(y)=-\dfrac{yx^2}{\left(y^2+1\right)^2}\Longrightarrow h'(y)=0\Longrightarrow h(y)=C \)
Subsituindo \(h(y)\) e aglutinando as constantes:
\(f(x,y)=\dfrac{x^2}{2(y^2+1)}=C\) ou \(f(x,y)=\dfrac{x^2}{y^2+1}=C\), multiplicando ambos os dois lados por \(2\).
Perceba que:
\(\dfrac{x^2}{y^2+1}=C\Longrightarrow \dfrac{y^2+1}{x^2}=\dfrac{1}{C}\)
Fazendo \(\dfrac{1}{C}=K,\) onde \(K\) é uma constante real qualquer, temos:
\( \dfrac{y^2+1}{x^2}=K\)
Que é a mesma família de soluções encontradas utilizando o fator \(\mu(x)\). Legal, não acha?
Também fica como dever de casa chegar a mesma solução integrado \(N(x,y)\) em relação a \(y\). Bons estudos!
\(-4\displaystyle\int{\dfrac{y}{y^2+1}dy=-4\cdot\dfrac{1}{2}\displaystyle\int{\dfrac{1}{u}}du}=-2\ln{u}=\)
\(-2\ln{\left(y^2+1\right)} \)
Fazendo por substituição : \(u=y^2+1\Longrightarrow du=2ydy \Longrightarrow dy=\dfrac{du}{2y}\)
