Pergunta Qual é a solução geral da seguinte equação diferencial? \[ \left(2x+3y^2\right)dx+\left(6xy+2y\right)dy=0 \] Pista Identifique \(M\) e \(N\) e veja se \(\frac{dM}{dy}\) e \(\frac{dN}{dx}\) são iguais ou não Respostas Opção 1 \(x^2+3xy^2+2y^2 = C\) Opção 2 \(f(x,y)=x^2+3xy^2+y^2\) Opção 3 \(2x^2+3xy^2+y^2 = C \) Opção 4 \(x^2+3xy^2+y^2 = C\) Feedback Ops! Parece que você se enganou na hora de integrar uma das funções. Verifique suas contas! Ops! Cuidado... As soluções das EDO de primeira ordem são funções de uma variável, e essa tem duas variáveis. Tente de novo! Ops! Parece que você se enganou na hora de integrar a função \(M\). Verifique suas contas! Correto! Muito bem! Solução Errado (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Pergunta Qual é a solução geral da seguinte equação diferencial? \[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-e^x}{y+e^y}\] Pista Tente separar as variáveis :-) Respostas Opção 1 \( \dfrac{y^2}{2}+e^{y}=\dfrac{x^2}{2}+e^x+C \) Opção 2 \( \dfrac{y^2}{2}+e^y = \dfrac{x^2}{2}-e^{x}+C \) Opção 3 \( y^2+e^y = x^2+e^{x}+C\) Opção 4 \( \dfrac{y^2}{2}+e^y=x^2+e^{x}+C\) Feedback Ops! O sinal da integral de \(−e^x\) está incorreto. Foi somado \(+e^x\), mas o correto é:\[\int (x-e^x)dx=\frac{x^2}{2}-e^x\] Certa! Excelente! Ops! A integral de \(y\) é \(\frac{y^2}{2}\), não \(y^2\) Ops! A integral de \(x\) é \(\frac{x^2}{2}\), não \(x^2\) Solução Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Qual é a solução geral da seguinte equação diferencial? \[xy'+y=3\] Pista Mmmm de repente é linear... Respostas Opção 1 \( y = 3 + C\) Opção 2 \( y = 3+ \dfrac{C}{x},\;\) \(x >0 \) ou \(x <0 \) Opção 3 \( y = 3 + \dfrac{C}{x} \) Opção 4 \( y = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{C}{x} \; , \; x \ne 0 \) Feedback Ops! Verifique se você dividiu todos os termos por \(x\) na hora de isolar o \(y\) na solução final! Correto. Bom trabalho! Errada. Veja se não esqueceu de especificar o intervalo em que \(x\) está definido! Ops! Verifique se você dividiu todos os termos por \(x\) na hora de passar para a forma padrão! Solução Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Qual é a solução geral da seguinte equação diferencial? \[xy'=\sqrt{1-y^2}\] Pista Tente separar as variáveis ;-) Respostas Opção 1 \( y = \cos{\left(\ln{(-x)}+C\right)} \; , \; x < 0\) Opção 2 \( y = \sin{ \left(\ln{x}\right) } \; , \; x > 0 \) Opção 3 \( y = \sin{ \left(\ln{x} + C \right)} \; , \; x >0 \) Opção 4 \( y = -cos{\left(\ln{x} +C \right)} \) Feedback Ops! Talvez você tenha se enganado na integral em relação a \(y\). Tente de novo! Ops! Veja se não se esqueceu da constate! Certa! Muito muito bemmm!! Sim, \( y = \sin{ \left(\ln{(-x)} + C \right)} \; , \; x <0 \) também é solução :-) Ops! Há vários erros, um de sinal, outro de ter calculado errado a integral em relação a y e o terceiro é que não aparece o intervalo de definição. Tente de novo! Solução Errado (Feedback) Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Qual é a solução geral da seguinte equação diferencial? \[ xy^2y'=y^3-x^3\] Pista Essa é homogênea, mas não vimos esse método aqui. Vai ter que encontrar um fator integrante para reduzir a exata! Respostas Opção 1 Não dá para resolver por nenhum método Opção 2 \(\dfrac{y^3}{x^3} - \ln|x| = C\) Opção 3 \(f(x,y)=-\dfrac{y^3}{3x^3} - \ln|x|\) Opção 4 \(y^3+3x^3\ln{x}+Cx^3=0,\) para todo \(x>0\) Opção 5 \(-\dfrac{y^3}{3x^3} = \ln|x| \) Feedback Dá, sim... Vai ter que pensar mais um pouco! Ops! Simplificou errado \(\frac{M_y-N_x}{N}\) e caiu no fator integrante \(\mu(x)=-\frac{1}{x^3}\) que está errado. Veja, essa função não torna a equação exata, pois após multiplicar a EDO por ela:\[\frac{\partial M}{\partial y} \ne \frac{\partial N}{\partial x}\]Além disso, a solução fornecida não satisfaz a equação original. Ops! Cuidado... As soluções das EDO de primeira ordem são funções de uma variável, e essa tem duas variáveis. Tente de novo! Correto!! Muito bom!!Sim, \(y^3+3x^3\ln{(-x)}+Cx^3=0,\) para todo \(x<0\) também vale. As duas vem da equação \(-\dfrac{y^3}{3x^3} - \ln|x| = C.\) Ops! Acho que você perdeu a constante \(C\) no caminho. Procure ela! Solução Errado (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Considere a seguinte equação diferencial \[ (1+x)y dx+(1-y)x dy = 0 \] Qual é a solução particular que passa pelo ponto \((1,0)\)? Pista Parece exata, mas se você olhar com calma verá que é de variáveis separáveis. Respostas Opção 1 \( x + \ln|x| = \ln|1 - y| - 1 \) Opção 2 \( x + \ln|x| = \ln|1 + y| + 1 \) Opção 3 \(y=1-xe^{x-1},\) para todo \(x\) Opção 4 \( x + \ln|x| = -\ln|1 - y| + 1 \) Feedback Ops! Se enganou no cálculo da constante \( C \). Deve substituir \(x\) por 1 e \(y\) por 0. Tente de novo! Ops! Acho que você se enganou na integral em relação a \(y\). Tente de novo! Correto! Muito bom! É só isolar o \(y\) da expressão \(x+\ln∣x∣=\ln∣1−y∣+1\). Vai conseguir, sim! Ops! Errou no sinal do \(\ln|1 - y|\) Solução Errado (Feedback) Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Considere a seguinte equação diferencial \[x^3 y' + 4x^2 y = e^{-x} \] Sabendo que \(y(1)=0 \), qual é a solução particular? Pista Mmmm será linear? Respostas Opção 1 \( y = \dfrac{-(x + 1)e^{-x} + \dfrac{1}{e}}{x^4},\, \) para todo \(x>0\) Opção 2 \( y = \dfrac{e^{-x}}{x^3},\, \) para todo \(x>0\) ou \(x<0\) Opção 3 \( y= \dfrac{-(x + 1)e^{-x} + \dfrac{2}{e}}{x^4},\, \) para todo \(x>0\) Opção 4 \( y= \dfrac{-(x + 1)e^{-x} + \dfrac{2}{e}}{x^4},\, \) para todo \(x<0\) Feedback Ops! Parece que você se enganou na constante \(C\). Deve substituir \(x\) por 1 e \(y\) por 0. Tente de novo! Ops! Você passou para a forma padrão \( y' + P(x)y = Q(x) \) antes de resolver? Tente de novo! Correto! Muito bom! Ops! Se enganou no intervalo, observe que a solução deve passar pelo ponto \((1,0)\), pelo que \(x_0=1 >0.\) Solução Errado (Feedback) Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Considere a seguinte equação diferencial \[ \left( x^2+2y^2 \right) dx = xy dy \] Sabendo que \(y(-1)=1\), qual é a solução particular? Pista Vai ter que calcular o fator integrante... Respostas Opção 1 \(-\frac{1}{2 x^{2}} -\frac{1}{4 x^{4}} y^{2} = 2\) Opção 2 \(\frac{1}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{4}} + y = 2\) Opção 3 \(f(x,y)=-\frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} y^{2}\) Opção 4 \(\frac{1}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{4}} = 2,\) para todo \(x>0\) ou \(x<0\) Opção 5 \(\frac{1}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{4}} = -1,\) para todo \(x>0\) ou \(x<0\) Feedback Ops! Acho que você se enganou no cálculo da integral de \(M(x,y)\). Veja, a integral correta de \( 2 x^{-5} y^2 \) com respeito a \( x \) é\[2 y^2 \int x^{-5} dx = 2 y^2 \left( -\frac{1}{4} x^{-4} \right) = -\frac{1}{2} y^2 x^{-4},\]mas aqui foi usado \(-\frac{1}{4} y^{2} x^{-4}\), esquecendo o fator 2. Ops! Acho que você se enganou no calculo da função \(g(y)\) em \(f(x,y)=\int M(x,y)dx + g(y)\). Veja, ao derivar \( f \) em relação a \( y \) depois de calcular essa integral, \( g'(y) \) deve se anular para coincidir com \( N(x,y) \). Aqui, \( g(y) = y \) não satisfaz a igualdade. Tente de novo! Ops! Cuidado... As soluções das EDO de primeira ordem são funções de uma variável, e essa tem duas variáveis. Tente de novo! Correto! Muito bom!!! Ops! Acho que você se enganou no cálculo de \(C\). Deve substituir \(x\) por -1 e \(y\) por 1.Tente de novo! Solução Errado (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Considere a seguinte equação diferencial \[ \sec^2{\theta}\tan{\phi}\,d\theta+\sec^2{\phi}\tan{\theta}\,d{\phi}=0\] Sabendo que \( \phi\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi }{4}\), qual é a solução particular? Pista Mmmm não deixe o \(\theta\) e o \(\phi\) despistar você. Identifique quem é \(M\) e \(N\) e calcule as parciais \(M_\phi\) e \(N_\theta\). Respostas Opção 1 \(\tan \theta \cdot \tan \phi = 1,\) para todo \(-\frac{\pi}{2}<\theta< \frac{\pi}{2}\) Opção 2 \(\sec \theta \cdot \tan \phi = 1\) Opção 3 \(f(x,y)=\tan \theta + \tan \phi\) Opção 4 \(\tan \theta \cdot \tan \phi = 1,\) para todo \(\frac{\pi}{2}<\theta< \frac{3\pi}{2}\) Opção 5 \(\tan \theta \cdot \tan \phi = \frac{\pi}{4},\) para todo \(-\frac{\pi}{2}<\theta< \frac{\pi}{2}\) Feedback Correto! Muito bom! Ops! Além de que faltou o intervalo, o erro está na integração de \( M \). A integral de \( \sec^2 \theta \) é \( \tan \theta \), não \( \sec \theta \). Tente de novo! Ops! Cuidado... As soluções das EDO de primeira ordem são funções de uma variável, e essa tem duas variáveis. Tente de novo! Ops! Observe que \(\frac{\pi}{4}\notin \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\) Ops! Se enganou no cálculo de \(C\). Deve substituir \(\theta\) e \(\phi\) por \(\frac{\pi}{4}\).Tente de novo! Solução Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback) Pergunta Considere a seguinte equação diferencial \[(\cos x + 1)\,dx + \left( \frac{x + \sin x}{y} - 2 \right)\,dy = 0, \quad y > 0\] Calcule a solução que passa pelo ponto \((0,2).\) Pista Vai ter que calcular o fator integrante... Só que dessa vez, depende de \(y\)! Respostas Opção 1 \( y(x + \sin x) - y^2 = 4 \) Opção 2 \( y(x + \sin x) - y^2 = -4 \) Opção 3 \( y(x + \cos x) - y^2 = -4 \) Opção 4 \(f(x,y)= y(x + \cos x) - y^2 = -4 \) Feedback Ops! Se enganou no cálculo da constante \(C\). Deve substituir \(x\) por 0 e \(y\) por 2. Tente de novo! Correto! Muito bom! Não especificamos o intervalo porque não é tão simples de calcular. Ops! Usou \( \cos x \) na integral de \(N(x, y)\) em vez de \( \sin x \). Tente de novo! Ops! Cuidado... As soluções das EDO de primeira ordem são funções de uma variável, e essa tem duas variáveis. Tente de novo! Solução Errado (Feedback) Opção correta (Feedback) Errado (Feedback) Errado (Feedback)
Considere a seguinte equação diferencial