MÉTODO DAS EDO EXATAS
Agora que sabemos quando uma EDO é exata e quando não, resta aprender o método para resolvê-las. Igualzinho a como fizemos com o exemplo \(
(2x + 3y) \, dx + (3x + 4y) \, dy = 0\)
Consideremos a EDO \[
M(x,y) \, dx + N(x,y) \, dy = 0
\]
Se \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), então a EDO admite uma função potencial \(f(x,y)\) e a solução geral da EDO é \(f(x,y)=C,\) onde \(C\) é uma constante arbitrária.
Para calcular \(f(x,y)\) integraremos a função \(M(x,y)\) em relação a \(x\):
\(f(x,y)=\displaystyle\int M(x,y) \, dx\, + g(y),\)
onde \(g(y)\) é uma função que depende unicamente de \(y\).
Uma vez que temos a expressão de \(f(x,y)\), derivamos em relação a \(y\) e igualamos a \(N(x,y)\) para encontrar a \(g(y)\).
\(N(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\displaystyle\int M(x,y) \, dx\right)+ g'(y)\)
Na equação anterior, isole \(g'(y)\)
\(g'(y)=N(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\displaystyle\int M(x,y) \, dx\right) \)
e depois integre em relação a \(y\):
\(g(y)=\displaystyle\int \left(N(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\displaystyle\int M(x,y) \, dx\right)\right)\,dy \)
Finalmente, adicione o valor de \(g(y)\) na expressão
\(f(x,y)=\displaystyle\int M(x,y) \, dx\, + g(y).\)
A solução geral da EDO é \(f(x,y)=C\)
Agora calcularemos \(f(x,y)\) integrando a função \(N(x,y)\) em relação a \(y\):
\(f(x,y)=\displaystyle\int N(x,y) \, dy\, + h(x),\)
onde \(h(x)\) é uma função que depende unicamente de \(x\).
Uma vez que temos a expressão de \(f(x,y)\), derivamos em relação a \(x\) e igualamos a \(M(x,y)\) para encontrar a \(h(x)\).
\(M(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\displaystyle\int N(x,y) \, dy\right)+ h'(x)\)
Na equação anterior, isole \(h'(x)\)
\(h'(y)=M(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\displaystyle\int N(x,y) \, dy\right) \)
e depois integre em relação a \(x\):
\(h(x)=\displaystyle\int \left(M(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\displaystyle\int N(x,y) \, dy\right)\right)\,dx \)
Finalmente, adicione o valor de \(h(x)\) na expressão
\(f(x,y)=\displaystyle\int N(x,y) \, dy\, + h(x).\)
A solução geral da EDO é \(f(x,y)=C.\)
O potencial \(f(x,y)\) deve ser o mesmo, tanto se começarmos por integrar \(M(x,y)\) quanto se começar integrando \(N(x,y)\). A escolha depende de se for mais simples para você integrar \(M(x,y)\) ou \(N(x,y).\)
Resumindo: O método para resolver EDO exatas é uma técnica para resolver EDOs de primeira ordem quando admitem uma função potencial. Os passos são:
1. Reorganizar a equação para colocar ela na forma padrão para dentificar \(M(x,y)\) e \(N(x,y).\)
2. Verificar que a EDO é de fato exata: \(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.\)
3. Determinar a função potencial \(f(x,y)\) integrando \(M(x,y)\) em relação a \(x\) (ou, equivalentemente \(N(x,y)\) em relação a \(y\)).
4. Determinar \(g(y)\) usando \(N(x,y)\) (ou, equivalentemente \(h(x)\) usando \(M(x,y)\)).
5. Escrever a solução geral \(f(x,y)=C\), onde \(C\) é uma constante arbitrária.
6. Usar a condição inicial, se disponível, para encontrar a solução particular (substituindo a condição inicial e calculando o valor de \(C\)).
A continuação propomos alguns exercícios para você treinar. Força!!
Isso é possível porque \(\dfrac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)\) já que a EDO é exata.
\(g(y)\) somente depende de \(y\), portanto você deve poder cortar todo o que tiver \(x\) da equação. Se não conseguir, alguma coisa estará errada!
As primitivas de uma função de uma variável diferem em uma constante. Isto é, todas são da forma \(F(x)=\int f(x) dx + K\). Isso porque, ao derivar \(F(x)\) em relação a \(x\), fica somente \(f(x)\), pois a derivada de uma constante é zero.
Já quando você integra uma função de duas variáveis \(f(x,y)\) em relação \(x\), essa constante \(K\) agora vira uma função da outra variável \(y\). Isto é, \(F(x,y)=\int f(x,y)\,dx + g(y)\). Isso porque, ao derivar \(F(x,y)\) em relação a \(x\), fica somente \(f(x,y)\), pois a derivada de \(g(y)\) em relação a \(x\) é zero.
Analogamente, se integramos \(f(x,y)\) em relação \(y\), essa constante \(K\) agora vira uma função da outra variável \(x\). Isto é, \(F(x,y)=\int f(x,y)\,dy + h(x)\). Isso porque, ao derivar \(F(x,y)\) em relação a \(y\), fica somente \(f(x,y)\), pois a derivada de \(h(x)\) em relação a \(y\) é zero.