Nesta seção aprenderemos a resolver um tipo de EDO chamadas exatas. Aqui você tem que ter alguma noção básica de cálculo diferencial de funções de duas variáveis, ok? Fique ligado!
Imagine que você está caminhando em uma trilha no meio de uma floresta. Em determinado ponto, você percebe que há várias placas com setas indicando diferentes caminhos. Algumas delas levam diretamente ao destino que você quer, enquanto outras dão voltas desnecessárias. Em matemática, resolver uma equação diferencial exata é como encontrar o caminho direto para o destino, evitando desvios.
Vamos entender por que?
As EDO exatas são aquelas da forma \( M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy=0\) com a propriedade de que admitem uma função \(f(x,y)\) que é constante ao longo das soluções \(y(x)\). Isto é, que
\(f(x,y(x))=C.\)
Essa função é chamada de potencial.
Você já identificou essa última fórmula? Siiimmm, são curvas de nível!
As curvas integrais de uma EDO exata descrevem o mapa de contorno do potencial \(f(x,y)\). Cada solução particular mora em uma curva de nível de \(f(x,y)\).
Veja, para a EDO \(2x \,dx - 2y\, dy=0\), as soluções são da forma \(x^2-y^2=C\). Assim, para cada \(C\) temos uma solução particular da EDO e também uma curva de nível do potencial \(f(x,y)=x^2-y^2\). Que viagem, né?
Vamos entender de onde sai esse potencial!
Dado que \(f(x,y(x))=C\), o potencial é constante ao logo das soluções e a diferencial total será zero. Isto é:
\(df= \dfrac{\partial f}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}\, dy=0\)
E é por isso que este tipo de EDO vai ter a forma
\( M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy=0\)
onde \(M(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\) e \(N(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}.\)
E temos mais informações!!
O vetor gradiente de \(f\) é o campo vetorial associado. Observe que \(\nabla f = (M(x,y), N(x,y))\).
E qual relação existe entre o vetor gradiente e as curvas de nível? Isso aí, o vetor gradiente no ponto \((a,b)\) é ortogonal à curva de nível no ponto \((a,b)\).
E mais ainda... O vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento do potencial. Portanto, indo na direção de \(-\nabla f\) acharemos a trilha (direção e sentido) por onde percorreremos a menor distância. Sacou?
Resumindo, para resolver uma EDO exata \( M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy=0,\) buscaremos uma função de duas variáveis \(f(x,y)\). As soluções particulares da EDO serão curvas de nível, pelo que a solução geral gerará o mapa de contorno da função. Muito doido, né?
Nem todas as EDO da forma \( M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy=0\) são exatas!!! Veremos uma condição que deve cumprir a EDO para ser exata daqui a pouco.
