Lineares

Consideremos agora a EDO \(\frac{dx}{dy}+2y=3x\).

Isolando a derivada, temos que \(\frac{dx}{dy}=3x-2y\), que já não é mais do tipo \(g(x)h(y)\). Que pena, né? Tranquilo... O método que vem agora ainda é mais ou menos simples!

A EDO \(\dfrac{dx}{dy}+2y=3x\) não é do tipo de separação de variáveis, mas se você se lembra do ebook de Introdução às EDO, essa EDO é linear de primeira ordem.

O que podemos fazer, então?

Vamos multiplicar a EDO toda por uma função mágica, chamada de fator integrante, \(\mu(x)=e^{2x}\):

\(e^{2x}(y'+2y)=e^{2x}(3x)\)

Equivalentemente, \(e^{2x}y'+2y\,e^{2x}=3x\,e^{2x}.\)

Observe que \(e^{2x}y'+2y\,e^{2x}\) é a derivada do produto \(e^{2x}y\). Portanto, podemos reescrever a EDO \(e^{2x}y'+2y\,e^{2x}=3x\,e^{2x}\) como:

\(\left(e^{2x}y\right)^\prime=3x\,e^{2x}.\)

Obaaa Não ficou feliz?? Caímos em uma EDO do ebook de Introdução às EDO. Agora só precisamos encontrar uma primitiva, à moda de Cálculo 1.

Integrando os dois lados da EDO em relação a \(x\):

\[e^{2x}y=\int \;3x\,e^{2x}\, dx=\dfrac{3}{4} (-1 + 2 x) e^{2x} +C\]

Resolveremos a integral \(\int 3x e^{2x} \, dx \) utilizando o método de integração por partes.

Escolhemos:
\[
u = 3x \quad \text{e} \quad dv = e^{2x} \, dx
\]

Agora, derivamos \(u\) e integramos \(dv\):
\[
du = 3 \, dx \quad \text{e} \quad v = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}
\]

Substituímos os valores na fórmula \(\int u \, dv = uv - \int v \, du \)

\[\int 3x e^{2x} \, dx = \left(3x \cdot \frac{1}{2} e^{2x}\right) - \int \left(\frac{1}{2} e^{2x} \cdot 3 \, dx\right)
\]

Simplificamos os termos:
\[
\int 3x e^{2x} \, dx = \frac{3}{2}x e^{2x} - \frac{3}{2} \int e^{2x} \, dx
\]

Sabendo que, \(
\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}+C
\) aplicando substituição, obtemos que:

\[
\int 3x e^{2x} \, dx = \frac{3}{2}x e^{2x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x}=
\dfrac{3}{4} (-1 + 2 x) e^{2x} +C
\]

Isolando \(y\):

\[y=e^{-2x}\left(\dfrac{3}{4} (-1 + 2 x) e^{2x}+C\right) \]

Simplificando, a solução geral da EDO \(\dfrac{dx}{dy}+2y=3x\) é:

\[y=\dfrac{3}{4} (-1 + 2 x) +Ce^{-2x}, \; \forall x\in \mathbb{R} \]

O campo de direções da EDO é apesentado na figura a seguir. As curvas vermelhas representam as curvas integrais:

Campo de vetores y'=3x-2y — *Campo de direções da EDO \(y'=3x-2y\)*

Viu como não é tão complicado? Que não... sério... hehe.

A parte que ficou em falta nesse exemplo é como calcular essa função mágica chamada de fator integrante. A seguir explicaremos o método geral. Força!

MÉTODO DAS EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM

Lembra da fórmula geral das Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem? Se não, dá uma olhada no conteúdo do e-book de Introdução às EDO!

Ela é \(a_1(x) y' +a_0(x)y=f(x),\)

onde \(a_1(x),\;\) \(a_0(x)\;\) e \(f(x)\;\) são funções contínuas.

Primeiro de tudo, dividiremos por \(a_1(x),\;\) para deixar \(y'\) com coeficiente \(1\).

\[y'+P(x)y=Q(x),\]

onde \(P(x)=\dfrac{a_0(x)}{a_1(x)}\) e \(Q(x)=\dfrac{g(x)}{a_1(x)}.\)

Isso se chama passar à forma padrão. Observe que somente faz sentido quando \(a_1(x)\neq 0.\) Esse detalhe definirá o intervalo de definição de nossas soluções!!!

Observe que no exemplo anterior, \(P(x)=2\) e \(Q(x)=3x\). E o fator integrante era \(\mu(x)= e^{\int\, P(x)\, dx}= e^{\int\, 2\, dx}=e^{2x}\). Legal, né? Pois sim, é assim mesmo como se calcula o tal de fator integrante!

Método de EDO lineares de primeira ordem: Se a EDO é da forma \[y'+P(x)y=Q(x),\] então multiplicaremos pelo fator integrante \[\mu(x)= e^{\int\, P(x)\, dx}\] e a solução geral da EDO vem dada pela equação \[\left(\mu(x) \cdot y\right)^\prime = \mu(x)\cdot Q(x)\]

Donde, \[y= \dfrac{1}{\mu(x)} \left(\int\; \mu(x)\cdot Q(x)\; dx+C\right)\]

Resumo:
O método para resolver EDO lineares de primeira ordem é uma técnica exclusiva para resolver este tipo de equações diferenciais. Os passos são:

1. Passar à forma padrão \(y'+P(x)y=Q(x)\) e identificar \(P(x)\) e \(Q(x).\)
2. Multiplicar a EDO em forma padrão pelo fator integrante \(\mu(x)= e^{\int\, P(x)\, dx}\): \[\mu(x)y'+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)\]
3. Reparar que o lado esquerdo da equação \(\mu(x)y'+\mu(x)P(x)y\) é a derivada de \(\mu(x)y\) e reescrever a EDO \[\left(\mu(x)y\right)^\prime=\mu(x)Q(x)\]
4. Integrar os dois lados \[\mu(x)y=\int\;\mu(x)Q(x)\;dx+C\]
5. Isolar \(y\)
6. Usar a condição inicial, se disponível, para encontrar a solução particular.

Esse método funciona porque o fator integrante transforma a equação original em algo "organizado", onde o lado esquerdo vira a derivada de um produto e o lado direito não depende de \(y\). É como limpar uma mesa cheia de papeis e canetas antes de começar a trabalhar.

A continuação propomos alguns exercícios para você treinar. Força!!