Funções escalares de várias variáveis

Conjuntos de Nível

Texto sobre conjuntos de nível.

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Exemplos

Vamos agora fazer alguns exemplos. Determine e esboce as curvas de nível das funções dadas abaixo:

a) $f_{1} (x, y) = x + y$

Neste caso, observe que $Dom (f_{1}) = R^{2} e que Im (f_{1}) = R$ e que $Im (f_{1}) = R$ . Desta forma, temos que para todo $k$ real, o conjunto de nível $k$ de $f 1$ é dado por $C_{k} (f_{1}) = {(x, y) \in R^{2} ∣ x + y = k}$ Ou seja, as curvas de nível $k$ de $f_{1}$ são retas $x + y = k$ . Por exemplo,
para $k = 0$ , temos a reta $y = - x$ ;
para $k = 1$ , temos a reta $y = - x + 1$ ;
para $k = 2$ , temos a reta $y = - x + 2$ ;
para $k = - 1$ , temos a reta $y = - x - 1$ ;
para $k = - 2$ , temos a reta $y = - x - 2$ .
As curvas de nível de $f_{1}$ encontram-se esboçadas abaixo. A curva de nível $k = 0$ está esboçada em azul, as curvas de nível $k > 0$ estão esboçadas em verde e as curvas de nível $k < 0$ estão esboçadas em rosa.

b) $f_{2} (x, y) = x^{2} + y^{2}$

Neste caso, observe que $Dom (f_{2}) = R^{2} e que Im (f_{2}) = {z \in R ∣ z \geq 0}$ Desta forma, temos que, para todo $k \geq 0$ real, o conjunto de nível $k$ de $f_{2}$ é dado por $C_{k} (f_{2}) = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} = k}$ .
Oberserve que, para $k = 0$ , temos apenas o ponto $(0, 0)$ , então $C_{0} (f_{2}) = {(0, 0)}$ . Já para $k > 0$ , temos que as curvas de nível $k > 0$ de $k > 0$ são circunferências $x^{2} + y^{2} = k$ , circunferências de raio $\sqrt{k}$ e centro na origem. Por exemplo,
para $k = 1$ , temos a circunferência $x^{2} + y^{2} = 1$ ;
para $k = 2$ , temos a circunferência $x^{2} + y^{2} = 2$ ;
para $k = 3$ , temos a circunferência $x^{2} + y^{2} = 3$ ;
para $k = 4$ , temos a circunferência $x^{2} + y^{2} = 4$ .
As curvas de nível de $f_{2}$ encontram-se esboçadas abaixo. A curva de nível $k = 0$ (a origem) está esboçada em azul e as curvas de nível $k > 0$ estão esboçadas em verde.

c) $f_{3} (x, y) = y^{2} - x^{2}$

Neste caso, observe que $Dom (f_{3}) = R^{2}$ e que $Im (f_{3}) = R$ .Desta forma, temos que para todo $k$ real, o conjunto de nível $k$ de $f_{3}$ é dado por $C_{k} (f_{3}) = {(x, y) \in R^{2} ∣ y^{2} - x^{2} = k}$ .
Observe que, para $k = 0$ , temos que $y^{2} - x^{2} = 0 \Leftrightarrow y^{2} = x^{2} \Leftrightarrow | y | = | x | \Leftrightarrow y = x$ ou $y = - x$ , e as curvas de nível zero são as retas $y = x$ e $y = - x$ . Já para $k > 0$ , temos que as curvas de nível $k > 0$ de $f_{3}$ são as hipérboles $y^{2} - x^{2} = k > 0$ , e são hipérboles cujos focos estão no eixo $y$ . Contudo, para $k < 0$ , temos que as curvas de nível $k < 0$ de $f_{3}$ são as hipérboles $y^{2} - x^{2} = k < 0$ , e são hipérboles cujos focos estão no eixo $x$ . Por exemplo,
para $k = 0$ , temos as retas $y = x$ e $y = - x$ ;
para $k = 1$ , temos a hipérbole $y^{2} - x^{2} = 1$ ;
para $k = 2$ , temos a hipérbole $y^{2} - x^{2} = 2$ ;
para $k = - 1$ , temos a hipérbole $x^{2} - y^{2} = 1$ ;
para $k = - 2$ , temos a hipérbole $x^{2} - y^{2} = 2$ .
As curvas de nível de $f_{3}$ encontram-se esboçadas abaixo. As curvas de nível $k = 0$ (retas) estão esboçadas em azul, as curvas de nível $k > 0$ estão esboçadas em verde e as curvas de nível $k < 0$ estão esboçadas em rosa.