Revisão de Geometria Analítica
Mudaça de coordenadas polares
Parametrização de uma superfície cilíndrica
Relações entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares
Neste tópico, veremos uma forma diferente de representar um ponto do plano. De fato, o plano cartesiano é muito utilizado. Entretanto,
o motivo de trocarmos a maneira de escrever o ponto é que, às vezes, algumas curvas no plano são mais simples de serem representadas por
equações polares.
Seja Or\theta o sistema de coordenadas polares no plano. Considere $O X Y$ o sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, tal que o eixo
polar seja o semieixo positivo $O X$ e o eixo $-O Y$ seja o obtido do eixo $-O X$ rotacionado de $90^{\circ}$ no sentido anti-horário.
Considere $P \neq O$, onde $O$ é origem, tal que $P$ esteja no sistema de coordenadas polares $(O r \theta)$, ou seja, $P=P(r, \theta)$,
com $r>0, \theta \in[0,2 \pi]$ (na realidade, $\theta$ pode ser menor que 0 ou maior que $2 \pi$, mas isso é considerado como voltas no
círculo trigonométrico, então consideramos o ângulo principal, que é aquele presente no intervalo $[0,2 \pi]$ ). Esse mesmo ponto em
coordenadas cartesianas $(O X Y)$ seria da forma $P=P(x, y)$. As relações entre tais coordenadas são dadas por:
$$
\begin{aligned}
&x=r \cos (\theta) \\
&y=r \operatorname{sen}(\theta)
\end{aligned}
$$
A partir delas, conseguimos chegar em outras duas relações, que também podem ser úteis:
| $x=r \cos (\theta) \Rightarrow x^{2}=r^{2} \cos ^{2}(\theta)$ | $y=r \operatorname{sen}(\theta) \Rightarrow y^{2}=r^{2} \operatorname{sen}^{2}(\theta)$ | $r^{2}=x^{2}+y^{2} \Rightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ |
|---|---|---|
| $x=r \cos (\theta) \Rightarrow \cos (\theta)=\frac{x}{r}$ | $y=r \operatorname{sen}(\theta) \Rightarrow \operatorname{sen}(\theta)=\frac{y}{r}$ | $\operatorname{tg}(\theta)=\frac{y}{x} \Rightarrow \theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$ |
Recursos computacionais
Mudança de coordenadas polares
Livro Geogebra
