Revisão de Geometria Analítica

Aparentemente, poderíamos achar que uma Hipérbole equivale a duas Parábolas, mas com concavidades opostas. Será que isto é verdade? Para explorar esta ideia, vamos realizar uma construção no GeoGebra para tentar "encaixar" uma Parábola em um dos ramos de uma Hipérbole. Obseve abaixo o passo a passo da construção em recursos computacionais, e ao mesmo tempo altere o controle deslizante "Passo a Passo" na construção.

Outra forma de observar que os ramos de uma Hipérbole não correspondem a uma Parábola é através das propriedades de reflexão das cônicas. Lembre-se que, para a Parábola, qualquer feixe paralelo ao eixo (perpendicular a diretriz) irá refletir de forma a passar pelo foco. Note na construção abaixo que o feixe (em vermelho) é paralelo ao eixo, mas ao refletir no ramo da Hipérbole não passa pelo foco. Você poderá mover o ponto $A$ ao longo deste ramo da Hipérbole para verificar que o mesmo ocorre em vários outros casos. Ou seja, o formato de cada ramo da Hipérbole é diferente do formato de uma Parábola.
(Recursos computacionais)

Recursos computacionais

Hipérbole - Construção (Passo a Passo)

1. Construa uma Hipérbole qualquer;
2. Encontre a reta $r$ que passa pelos focos da Hipérbole ( $r$ deverá coincidir com o eixo da Parábola que estamos buscando);
3. Encontre o ponto $V$ dado pela interseção de um dos ramos da Hipérbole com a reta $r$ (este ponto deverá coincider com o vértice da Paraábola);
4. Escolha um ponto $P$ qualquer sobre a reta $r$ que possa ser movido ao longo desta reta (este ponto será o foco da Parábola);
5. Encontre a reta $d$ ortogonal a reta $r$ tal que $\operatorname{dist}(d, V)=\operatorname{dist}(V, F)$ (esta reta d deverá ser a diretriz da Parábola);
6. Construa a Parábola de foco $F$ e diretriz $d$ (isto pode ser feito com o comando Parábola (F, d));
7. Movimente o foco $F$ e tente "encaixar" a Parábola no ramo da Hipérbole.

CONCLUSÃO: Uma Hipérbole não equivale a duas Parábolas!